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- Ist die Konstrukiton thales.gxt in Geonext geöffnet?
- Ziehe den Punkt C im oberen Bild. Beobachte dabei den Wert für den Winkel
γ und vergleiche ihn mit dem Wert der Winkelsumme α + β.
Bewegt man den Punkt C nahe bei M, dann ist
die Winkelsumme α + β viel kleiner als γ. Ist C
weit von M entfernt, dann wird die Winkelsumme α + β
größer als γ. Irgendwo dazwischen nimmt γ sicher einmal den Wert
90° an.
- Ziehe jetzt den Punkt C' im unteren Bild. Das Dreieck ΔA'B'C' ist
rechtwinklig bei C'. Mache eine Aussage über spitzen Winkel in einem rechtwinkligen
Dreieck. Ist diese Aussage umkehrbar?
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
der spitzen Innenwinkel stets 90°. Das ist deswegen immer so, weil wenn von
der Innenwinkelsumme von 180° der 90°-Winkel abgezogen wird, dann bleibt für
die beiden restlichen Winkel eben auch 90° übrig.
Umgekehrt, falls zwei Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 90° ergeben, dann
ist das Dreieck rechtwinklig, weil für den dreitten Innenwinkel noch 90° übrig
bleiben.
- Vergleiche in der unteren Zeichnung α' und γ1 sowie
β' und γ2. Begründe deine Vermutung.
Die Winkel α' und γ1
sind stets gleich groß. Wird vom 90°-Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
ein beliebiger Winkel α abgezogen, dann muss ein Winkel von der Größe
β übrig bleiben. Das ist hier auch der Fall. γ2 ist
tasächlich immer so groß wie β. &
- Gilt die Erkenntnis aus 2. für beliebige rechtwinklige Dreiecke?
Die Überlegung aus 3. gilt für beliebige rechtwinklige
Dreiecke, weil deren 90°-Winkel stets in der beschriebenen Form aufgeteilt
werden kann, da in jedem rechwinkligen Dreieck α + β = 90° = γ
ist.
- Von welcher besonderen Form sind die Dreiecke ΔA'M'C' und ΔM'B'C'?
Warum gilt diese Vermutung für jedes rechtwinklige Dreieck? Begründe!
Die Dreiecke ΔA'M'C' und ΔM'B'C'
sind beide gleichschenklig, weil die Winkel α' und γ1
per Vorgabe gleich gewählt wurden und daher nach 3. und 4. auch β' und
γ2 gleich sein müssen. Wegen 4. kann man das mit jedem rechtwinkligen
Dreieck so gemacht werden.
- Was gilt für die Punkte C', A' und B'? Was folgt daraus für die Punkte C'?
Weil Dreieck ΔA'M'C' gleichschenklig
mit der Basis [A'C'] ist, müssen die Seiten [A'M'] und [C'M'] gleich lang
sein.
Aus dem gleichen Grund gilt im Dreieck ΔM'B'C', dass [C'M'] die gleiche
Länge wie [B'M'] hat. Damit ist M' der Mittelpunkt der Strecke [A'B'].
Weil A', b' und C' gleich weit von M' entfernt liegen, müssen alle drei Punkte
auf einem Kreis liegen, dessen Durchmesser [A'B'] ist.
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