Satz des Thales: AufgabenstellungTOC

Auflösung der Aufgaben zum Satz des Thales


  1. Ist die Konstrukiton thales.gxt in Geonext geöffnet?
  2. Ziehe den Punkt C im oberen Bild. Beobachte dabei den Wert für den Winkel γ und vergleiche ihn mit dem Wert der Winkelsumme α + β.
    Bewegt man den Punkt C nahe bei M, dann ist die Winkelsumme α + β viel kleiner als γ. Ist C weit von M entfernt, dann wird die Winkelsumme α + β größer als γ. Irgendwo dazwischen nimmt γ sicher einmal den Wert 90° an.

  3. Ziehe jetzt den Punkt C' im unteren Bild. Das Dreieck ΔA'B'C' ist rechtwinklig bei C'. Mache eine Aussage über spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Ist diese Aussage umkehrbar?
    In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der spitzen Innenwinkel stets 90°. Das ist deswegen immer so, weil wenn von der Innenwinkelsumme von 180° der 90°-Winkel abgezogen wird, dann bleibt für die beiden restlichen Winkel eben auch 90° übrig.
    Umgekehrt, falls zwei Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 90° ergeben, dann ist das Dreieck rechtwinklig, weil für den dreitten Innenwinkel noch 90° übrig bleiben.

  4. Vergleiche in der unteren Zeichnung α' und γ1 sowie β' und γ2. Begründe deine Vermutung.
    Die Winkel α' und γ1 sind stets gleich groß. Wird vom 90°-Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ein beliebiger Winkel α abgezogen, dann muss ein Winkel von der Größe β übrig bleiben. Das ist hier auch der Fall. γ2 ist tasächlich immer so groß wie β. &

  5. Gilt die Erkenntnis aus 2. für beliebige rechtwinklige Dreiecke?
    Die Überlegung aus 3. gilt für beliebige rechtwinklige Dreiecke, weil deren 90°-Winkel stets in der beschriebenen Form aufgeteilt werden kann, da in jedem rechwinkligen Dreieck α + β = 90° = γ ist.

  6. Von welcher besonderen Form sind die Dreiecke ΔA'M'C' und ΔM'B'C'? Warum gilt diese Vermutung für jedes rechtwinklige Dreieck? Begründe!
    Die Dreiecke ΔA'M'C' und ΔM'B'C' sind beide gleichschenklig, weil die Winkel α' und γ1 per Vorgabe gleich gewählt wurden und daher nach 3. und 4. auch β' und γ2 gleich sein müssen. Wegen 4. kann man das mit jedem rechtwinkligen Dreieck so gemacht werden.

  7. Was gilt für die Punkte C', A' und B'? Was folgt daraus für die Punkte C'?
    Weil Dreieck ΔA'M'C' gleichschenklig mit der Basis [A'C'] ist, müssen die Seiten [A'M'] und [C'M'] gleich lang sein.
    Aus dem gleichen Grund gilt im Dreieck ΔM'B'C', dass [C'M'] die gleiche Länge wie [B'M'] hat. Damit ist M' der Mittelpunkt der Strecke [A'B'].
    Weil A', b' und C' gleich weit von M' entfernt liegen, müssen alle drei Punkte auf einem Kreis liegen, dessen Durchmesser [A'B'] ist.

Damit ist der Satz von Thales bewiesen.

Die Ecken C von rechtwinkligen Dreiecken ABC mit der gemeinsamen Hypotenuse [AB] liegen auf einem Kreis k, dessen Durchmesser die Strecke [AB] ist  

Ergänze und korrigiere nun deine eigenen Aufzeichnungen.


Zusatzfragen: (zusammen mit thales2.gxt)

  • Wo liegen Punkte C, die mit A und B größere (kleinere) Winkel(ACB) = γ bilden? Ziehe dazu den Punkt C' in der Zeichnung.

  • Wie verhält sich das Dreieck ΔABC, wenn man die Strecke [AB] verändert. (Ziehe Punkt A oder B) Welche Voraussetzung muss beachtet werden?

  • Wann wird die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ΔABC maximal? Begründe!

  • Was geschieht, wenn C' auf die Strecke [AB] trifft?

  • Kann der Winkel γ den Wert 0° annehmen?


thales2-Applet:
Die Punkte kann man ziehen